Можно ли построить треугольник со сторонами 1, 2 и 4?

Нет — в евклидовой плоскости такой треугольник построить нельзя, потому что сумма двух меньших сторон (1 + 2) меньше длины большей стороны (4).

Проверка по неравенству треугольника

Неравенство треугольника: для любых трёх отрезков a, b, c, чтобы они были сторонами невырожденного треугольника, должно выполняться a + b > c, a + c > b, b + c > a. Удобно сначала отсортировать длины по возрастанию: a ≤ b ≤ c — тогда достаточно проверить одно неравенство a + b > c.

Применим к набору {1, 2, 4} (a = 1, b = 2, c = 4): 1 + 2 = 3, а 3 ≤ 4, значит условие не выполняется. Следовательно, никакого обычного треугольника с такими сторонами быть не может.

Интуиция и проверка через площадь (формула Герона)

Геометрически: если у вас есть отрезок длины 4, то концы двух отрезков длиной 1 и 2 нельзя одновременно соединить с концами большого отрезка так, чтобы получился замкнутый треугольник — короткие отрезки просто не достанут.

Формально через полупериметр s = (1 + 2 + 4)/2 = 3.5 и формулу Герона: S = sqrt(s(s − a)(s − b)(s − c)). Здесь s − c = 3.5 − 4 = −0.5, подкоренное выражение отрицательно → площадь не определена в реальных числах, что согласуется с невозможностью треугольника.

Что такое вырожденный случай и чем он отличается

Вырожденный треугольник — случай, когда a + b = c (при a ≤ b ≤ c). На практике это означает, что отрезки можно уложить в одну линию: два коротких подряд образуют длину самого длинного. В этом случае фигура не имеет внутренней области и не считается обычным треугольником в задачах, требующих ненулевую площадь.

Частые ошибки

• Подумать, что достаточно проверить только одно из трёх неравенств — это верно лишь при предварительной сортировке; без сортировки можно пропустить неправильную комбинацию.
• Путать вырожденный случай (a + b = c) с допустимым — вырожденный случай не даёт треугольника с площадью.
• Игнорировать единицы измерения: числа должны относиться к одной системе (метры, сантиметры и т. п.).

FAQ

• Можно ли считать случай 1, 2, 3 треугольником?
  Нет — это вырожденный случай: отрезки уложатся в одну прямую и не образуют обычный треугольник.

• А в неевклидовой геометрии возможны такие треугольники?
  Условие треугольника как соотношение длин сторон остаётся верным в метрическом смысле: в любой геометрии, где расстояния удовлетворяют аксиомам метрики, сумма двух сторон должна быть больше третьей для образования замкнутой фигуры.

• Как быстро проверить для больших наборов чисел?
  Отсортируйте и для каждой тройки (a ≤ b ≤ c) проверьте a + b > c; это O(n log n) для сортировки и O(n) для проверки последовательных троек в упорядоченном списке.