Пошаговый разбор уравнения 3x² − 2x + 5 = 0

Краткий ответ: вещественных корней нет; два комплексных корня x = (1 ± i√14)/3. Ниже — полный пошаговый расчёт с проверкой и пояснениями.

Приведение к стандартному виду и дискриминант

Стандартный вид: ax² + bx + c = 0. Здесь a = 3, b = −2, c = 5.

Дискриминант D = b² − 4ac: D = (−2)² − 4·3·5 = 4 − 60 = −56.

Отрицательный дискриминант означает отсутствие вещественных корней и наличие двух комплексно-сопряжённых корней.

Частая ошибка — забыть минус при вычислении 4ac или перепутать знак b. Проверяйте подстановку чисел в формулу D = b² − 4ac.

Нахождение комплексных корней

Формула корней: x = (−b ± √D) / (2a).

Поскольку D = −56, извлекаем корень: √D = √(−56) = i√56 = i·(2√14) = 2i√14.

Подставляем: −b = −(−2) = 2, 2a = 6.

x₁ = (2 + 2i√14) / 6 = (1 + i√14) / 3. x₂ = (2 − 2i√14) / 6 = (1 − i√14) / 3.

Для удобства можно дать приближённые значения: √14 ≈ 3.7417, значит i√14 ≈ 3.7417i, и x ≈ (1 ± 3.7417i)/3 ≈ 0.3333 ± 1.2472i.

Чтобы упростить корень, выносите полный квадрат: √56 = √(4·14) = 2√14. Это уменьшает вероятность арифметических ошибок.

Проверка и графическая интерпретация

Проверка: подставьте любой из корней в левую часть уравнения; алгебраически выражение сократится в ноль (комплексные слагаемые сократятся согласно формулам). На практике удобно проверить модульно или с помощью калькулятора с комплексными числами.

Графически функция y = 3x² − 2x + 5 — парабола с ветвями вверх (a > 0). Её вершина при x_v = −b/(2a) = 2/(6) = 1/3, значение y_v = 3(1/3)² − 2(1/3) + 5 = 3·1/9 − 2/3 + 5 = 1/3 − 2/3 + 5 = 5 − 1/3 = 14/3 ≈ 4.6667. Поскольку y_v > 0, парабола не пересекает ось Ox — подтверждение отсутствия вещественных корней.

Частые ошибки

  • Неправильный знак при подстановке b (забывают, что −b = −(b)).
  • Ошибка при извлечении корня из отрицательного дискриминанта (нужно вводить i).
  • Неполное упрощение √56 — не вынесли множитель 4, чтобы получить 2√14.
  • Деление всего выражения на 2a неправильно сокращают числитель.

FAQ

  • Нужно ли переходить к комплексным числам всегда при D < 0?
    Да — стандартный путь: при D < 0 корни комплексные и записываются с i = √(−1).

  • Можно ли представить корни в другом виде?
    Да: можно умножить числитель и знаменатель для получения общего вида, но (1 ± i√14)/3 — канонический простой вид.

  • Как проверить решение на бумаге?
    Подставьте найденный корень в исходное уравнение и упростите — результат должен равняться 0. Для удобства используйте свойства сопряжённых корней: при подстановке комплексной пары мнимые части обычно сокращаются.

Если нужно, могу показать полную подстановку одного из корней шаг за шагом или построить график функции.