Как быстро решить задание №4 на стр. 109 (8 класс)
Ответ: выражение ¬(A ∧ B) ∨ (C → ¬D) равно 0 только при A = B = C = D = 1; во всех остальных 15 случаях значение равно 1. Ниже — объяснение, полная таблица истинности и практический алгоритм вычисления.
Разбор выражения и полезные тождества
- A ∧ B — конъюнкция (истина, только если A=1 и B=1).
- ¬(A ∧ B) — отрицание конъюнкции (истина, если хотя бы один из A или B = 0).
- C → ¬D — импликация; по определению C → X эквивалентно ¬C ∨ X. Значит C → ¬D = ¬C ∨ ¬D.
- Полное выражение: ¬(A ∧ B) ∨ (¬C ∨ ¬D) = ¬(A ∧ B) ∨ ¬C ∨ ¬D.
Отсюда видно: чтобы всё выражение было ложным (0), каждое из слагаемых должно быть 0:
- ¬(A ∧ B) = 0 ⇒ A ∧ B = 1 ⇒ A = 1 и B = 1;
- ¬C = 0 ⇒ C = 1;
- ¬D = 0 ⇒ D = 1. Таким образом единственная комбинация, дающая 0 — A=B=C=D=1.
Коротко: достаточно проверить случай A=1, B=1 — если при этом C=1 и D=1 выражение ложно; во всех остальных случаях будет истинно.
Таблица истинности (итоговое значение)
Ниже приведена сокращённая таблица: столбец Result — значение всего выражения.
| A | B | C | D | Result |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Если нужно, можно дополнительно проставить промежуточные столбцы A∧B, ¬(A∧B), ¬C, ¬D, C→¬D — но для определения итогового результата это не обязательно.
Как решать быстро (алгоритм для контрольной)
- Посмотри на часть ¬(A ∧ B). Если хотя бы один из A или B = 0, итог сразу 1 (не нужно смотреть C и D).
- Если A = B = 1, вычисляй C → ¬D (то есть проверь ¬C ∨ ¬D). При этом единственный способ получить 0 — когда ¬(A∧B)=0 и ¬C=0 и ¬D=0, то есть A=B=C=D=1.
- Для проверки всех наборов в тетради достаточно сперва разбить по A∧B: все строки, где A∧B=0 — результат 1; затем отдельно рассмотреть четыре строки с A=B=1.
Частые ошибки
- Путать импликацию с конъюнкцией: C → ¬D ≠ C ∧ ¬D; импликация ложна только при C=1 и ¬D=0 (то есть C=1, D=1).
- Не учитывать, что ¬(A ∧ B) даёт 1 уже при одном нуле в A или B — тогда не нужно дальше считать C и D.
- Заполнение таблицы побуквенно, не применяя сокращений: тратится время и больше шансов на ошибку.
FAQ
- Нужно ли строить все промежуточные столбцы? Нет: достаточно заметить общую форму выражения и выделить случаи, когда одно из слагаемых гарантирует 1.
- Что проще: доказать, что выражение равно константе, или заполнить 16 строк? Оба подхода валидны; для проверочной работы часто быстрее привести логическое упрощение (как в разделе Разбор).
- Если учебник даёт другое выражение на стр. 109 — как действовать? Применяйте те же шаги: упростите выражение алгеброй логики (тождества) и затем постройте таблицу лишь для нескорых случаев.
Если нужно, могу записать полную таблицу с промежуточными столбцами (A∧B, ¬(A∧B), ¬C, ¬D, C→¬D) или дать вариант решения в псевдокоде.